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翻译与编辑：Duoqiang Liu

信道估计与均衡中的MMSE模型

什么是MMSE模型？

MMSE是一种最小化接收数据的均方误差（MSE）的模型。有了这个简单的陈述，很多问题就会在你的脑海中跳出来。

什么是均方误差？最小化MSE的物理意义是什么？等等。

让我们从一个我们现在已经很熟悉的信道模型开始。（我希望你现在也熟悉了下面的表达方式。）

MMSE是一种作为均衡器的后处理算法，它可以帮助我们计算出的接收数据尽可能接近原始数据（传输数据）。简而言之，MMSE中最重要的步骤是在下图中找到矩阵G。如果我们假设没有噪声，这个［G］矩阵可以简单地认为是信道矩阵的逆（H＾－1）。但是当有噪声时，我们需要使用一些能反映噪声的模型。MMSE就是其中一种算法。

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如何求解矩阵G？

现在我们设定一个目标意味着我们有一个目标函数要解。然后，我们需要找出如何求解目标函数。有几种不同的方法可以解决这个问题。我将采取的方法是解下列方程。

当我第一次学习这个方程时，我的第一个问题是这个方程的意义是什么。如果您更仔细地观察它，您就会意识到这些方程表示了一个特定的条件，即接收的数据向量和错误向量之间没有相关性。

我的下一个问题是“这个特定的条件如何成为使误差的MSE最小化的条件？”简而言之，“这如何成为MSE的条件？”

下面是一位FPGA工程师的评论，他教我物理层的各种主题。第一次读的时候可能听起来不是很清楚，但是再仔细想想就会明白了。

在MMSE中，矩阵G应是利用接收信号的统计特性使MSE最小化的矩阵。如果y和e之间还存在一定的相关性，应该可以利用这种相关性来降低e的范数。所以在最优点，y和e之间应该没有相关性。（如果不是，我们应该能够利用相关性进一步降低e的范数。）

这就是为什么我们可以通过使用要求接收信号y和误差e之间的相关性为零的准则来推导MMSE最优矩阵G的原因。

一旦你得到了要解决的对象方程，并理解了它的物理（或统计）意义，剩下的步骤就只是高等数学了。我给你的一个建议是“在你找到最终解决方案之前，不要过多考虑解决过程的物理意义”。大多数中间步骤是纯粹的数学操作，在大多数情况下没有特定的物理意义。当然，在某些情况下，我们需要考虑物理意义，例如在解决过程中删除一些术语时。但在大多数情况下，这个解的过程只是数学操作。

首先，您可以展开给出的对象方程，如下面的过程所示。不要害怕，拿出一张纸和一支笔，用手写下每一步。你会发现这是真正的高等数学。

现在我们有矩阵［G］用E｛｝的两块表示。让我们进一步展开这些方块。然后你可能会问，为什么要做更多的扩张？为什么我们不能用这个结果作为解决方案？要用它作为解，你需要知道方程中的所有值。

让我们检查一下这个（上面最后一行）中的每一项，并检查我们是否知道所有的值。

我们能知道［y］向量吗？是的，因为它是第一次被接收机物理检测／测量的值。

那么［x］向量呢？它发送数据。如果这个发送的数据是一个参考信号，我们可以说我们知道这个值，但如果它是用户数据，我们不知道这个值。

现在让我们逐个展开E｛｝块。让我先试试第二个E｛｝块。（没有具体的原因，我为什么要首先展开第二个区块。我就这么做了：）。在这个过程中，您可以看到一些术语（用颜色标记）被删除了，并被其他更简单的形式取代。这是基于术语的物理性质。对于如何删除或替换这些项，没有纯粹的数学原因。

现在我们有了由已知值组成的表达式。［H］为信道矩阵。我们假设在信道估计过程中我们已经计算出了这个矩阵。我们知道P，因为我们决定了发送功率。那么“噪声方差”呢？我们不可能知道每一个接收到的数据中添加的确切的噪声值，但我们可以计算出噪声的长期统计特性。“噪声方差”是噪声的一种长期统计特性。

接下来，让我们展开第一个E｛｝块。它可以展开如下所示。在这个过程中，您还可以看到一些术语（用颜色标记）被删除，并被其他更简单的形式取代。这是基于术语的物理性质。

现在我们有了两个E｛｝块的展开式，让我们用展开式重写［G］矩阵，它变成：

现在你看到整个［G］矩阵本身用所有已知的值表示。在实际的DSP或FPGA中，要解决这个表达式，你可能需要进一步的操作（例如，矩阵分解），但仅仅为了理解MMSE的概念，这就足够了。

在这一点上，一个大问题是，即使你遵循这个漫长／枯燥的数学过程，“为了推出G，我们得出结论，我们需要知道信道矩阵H，我们怎么知道它？”这就是你需要研究的另一个复杂而无聊的话题，叫做“信道估计（参见：Communication － Channel Estimation）”。

注意：根据系统的执行情况，上述方程中H的解释略有不同。如果我们假设一个不做任何放大或预编码的系统，H仅代表这里（LTE Basic Procedure）所示的空间信道上的特性。但如果我们假设一个更现实的实现，执行一些预编码和放大，H表示一个矩阵，包括预编码和放大的属性。在这种情况下，数学上的H可以表示为“Amp ＊ H ＊ P”，其中Amp是放大，H是空间信道矩阵，P是预编码矩阵。

如果你有兴趣获得一些MMSE实现的例子，请参阅（MMSE （Minimum Mean Square Error）－Matlab）。张贴了一些MMSE均衡的Matlab例子。

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MMSE应用

接收机链路处理

MMSE基线

MMSE IRC

怎么样，MMSE看懂了吗？如果没看懂，就多看几遍。同时，把《线性代数》、《概率论与数理统计》、《随机过程》、《现代信号处理》、《高等数学》、《通信原理》等教材翻一翻，推导一遍。然后用FPGA将算法通过HDL语言实现，封装成IP，沿街叫卖，发家致富。我们的目标是：迎取白富美，走上人生巅峰。