最近因工作比较忙，未能保持更新，后台的读者也在催更，今天恰逢周末休息，天寒在家，遂更新一文。

笔者不打算写太多FPGA设计方面的文章，因为在实践过程中，大家都会碰到各种各样的问题，文章也仅限于笔者碰到的问题，不具有共性。如需要技术交流，欢迎读者加微信群或者QQ群，同群友们进一步交流。

这篇文章是关于OTFS调制的内容，在此前的文章中，也提到会断断续续更新该系列。笔者本身没有从事OTFS波形的研究，也没有进行样机的研制，不过我们可以从中去分析该波形具备的特点，也许在某些场景下，可以借鉴，完成波形设计。

本文是《Delay-Doppler Communications Principles and Applications》第4章“Delay-Doppler modulation”的4.1节内容中文翻译，第4章内容目录如下：

第4章目录

第4章目录

本章的主要内容：

•OTFS调制和解调。

•OTFS矩阵表示。

•离散Zak变换。

•OTFS在不同域的输入输出关系。

•OTFS变形。

没有什么比一开始就做出改变更困难、更不确定、更危险的了。——尼古拉斯·马基雅维利

以下内容为4.1节“系统模型”的中文翻译，原文请参考英文版《Delay-Doppler Communications Principles and Applications》一书，若本文中存在翻译错误或者编辑错误，欢迎留言指正。

随着高速列车、无人机、无人驾驶汽车的出现，高移动性无线信道迫切需要可靠的通信。在OFDM中，信息符号在单个时频资源上传输，容易受到频率和时间选择性衰落的影响，从而降低了高可移性无线信道中的错误性能。另一方面，OTFS在一个跨越整个时间和频率资源的二维(2D)正交基函数上复用每个信息符号。因此，所有信息符号都经历一个固定的(时不变的)平坦衰落等效信道。

本章从离散时域、时频域和延迟-多普勒域等不同域的一些基本符号开始，然后描述OTFS调制和解调、高移动率信道以及OTFS与理想脉冲成形波形的输入输出关系。

在本章的后面，我们将介绍OTFS矩阵形式，展示OTFS调制如何与众所周知的离散Zak变换相关。然后，我们用实际矩形脉冲成形波形给出OTFS的输入输出关系的矢量化形式，其中考虑了不同的域:离散时域、时频域、延时时域和延时多普勒域。进一步，我们将我们的研究扩展到OTFS的变体，在这些波形的传输中，每个OTFS帧或块添加一个循环前缀(CP)或零填充(ZP)。最后，我们对OTFS变体的信道表示和输入输出关系进行了全面的总结。

4.1系统模型

在本节中，在描述图4.1中OTFS调制和解调模块之前，我们介绍有关三个领域的一些符号:离散时域、时频域和时延-多普勒域。

我们假设OTFS系统运行在一个带宽为B、最大时延扩展和最大多普勒频移的P条路径信道上，定义为(2.11)。我们考虑一个离散时间基带等效模型，其中连续时间OTFS信号以采样频率进行采样，其中Ts表示采样间隔。离散域OTFS帧包含了被细分为N个块(或时隙)的NM样本，每个块有M个样本。因此，OTFS帧持续时间为，其中表示每个块的持续时间。

每T秒内，获得每个块M点DFT的离散频谱，频点间隔?f=1/T。带宽B=M?f的OTFS帧的所有N块时间轴称为时频域，如图4.2（左）所示，离散时频域定义为MN点阵列

M,N>0。在Λ的点集合中离散时频样本矩阵表示为。其中每一列包含每个块的离散频谱样本。将这个矩阵看作一维时域OTFS信号的二维时频表示是很方便的。

离散时频样本可以通过二维辛傅里叶变换转换到延迟-多普勒域。具体来说，延时-多普勒域是通过沿频率轴(列)和沿时间轴(行)的傅里叶反变换从时频域得到的。离散后，在时延-多普勒域对应的MN点阵列(图4.2(右))为

其中，1/MΔf和1/NT分别为路径延迟和多普勒频移的分辨率。特别是具有相同多普勒频移但传播延迟小于1/MΔf不同的两条路径，接收机无法区分。同样，具有相同传播延迟但多普勒频移差小于1/NT的两条路径也无法区分。

我们定义OTFS波形Γ点的延迟-多普勒采样为矩阵。

4.1.1 OTFS系统的参数选择

作为设计的重要参数，我们选择和。我们知道T和?f决定了可支持的最大信道时延 和多普勒频移 。如果固定数据率到每帧NM个符号，根据信道参数，我们可以选择T越大（?f越小），将得到越小的N和越大的M，反之亦然。这意味着OTFS可以处理最大，扩展了设计工作在低度扩展信道之外的系统的机会()。OTFS系统的另一个设计约束在于假设多径信道参数和(见第2章)在帧的持续时间内是恒定的。在今天的蜂窝系统环境中，这将T_f限制在最大10 ~ 20毫秒。

4.1.2 OTFS调制

正如图4.1所示，在发射端，经调制后的长度为Q的序列构成NM信息符号，放置到时延-多普勒域矩阵，并且。

图4.1 原始形式的OTFS系统图

图4.2 离散时频网格(Λ)和时延-多普勒网格(Γ)

发射机首先通过逆辛-傅里叶变换（ISFFT）将符号映射到NM样本的时频资源格Λ：

，表示时频域发射样本矩阵。ISFFT对应于一个二维变换，取X列的m点进行DFT和X行的n点进行逆DFT (IDFT)。接下来，时频调制器用发射波形对2D的转换为连续时间波形s(t)：

上述操作在文献中称为海森堡变换，它依赖于、和。

4.1.3 高速移动信道失真

信号通过时延-多普勒信道响应h(τ,ν)传输，对应于时延响应g(τ,t)，其中τ,ν是信道时延和多普勒频移(参见第2章)。忽略噪声项，接收信号r(t)由下式给出：

其中，在（2.15）式已给出。

在接收机中，信道受损信号r(t)被离散采样，。则（4.4）变为

其中，是在时偏的多普勒响应。集合包含信道不同的时偏， 是所有具有相同时偏 的路径的多普勒频移的集合。

现在我们考虑一个由P条路径组成的时变多径信道，第条路径()有信道增益，时延,多普勒频移，在时延的多普勒响应为：

特别地，当归一化的时延和归一化的多普勒频移是整数时，我们用(整数时延抽头)和（整数多普勒抽头）表示。然后将(4.6)中的sinc函数替换为(处的单位脉冲，得到离散的延迟时间多径信道响应：

第二步是由于(4.7)。假设的最大值小于最大信道延迟抽头，其中。

这里需要注意的是，假设延迟多普勒(或等效的延迟时间)响应在一个OTFS帧的持续时间内是固定的。这意味着，假设的时延-多普勒信道参数、τ和是恒定的。为了满足这一假设，可能有必要以降低多普勒频移分辨率为代价降低N。

4.1.4 OTFS解调

在图4.1中，在接收端，接收到的信号r(t)通过一个匹配滤波器，计算交叉模糊函数为

然后在网格点Λ上对进行采样，形成带条目的时频域接收样本矩阵。

，（4.9）和（4.10）合起来称为维格纳变换。最后，对进行辛快速傅里叶变换(SFFT)，得到的时延-多普勒域样本为：

SFFT对应于一个二维变换，它对Y的列进行m点的IDFT，再对Y的行进行n点的DFT。综上所述，如图4.1所示，OTFS调制器利用ISFFT将时延-多普勒域的映射到时频域的。然后对进行海森堡变换，得到时域信号。在接收端，通过Wigner变换变换到时频域，然后使用SFFT变换到延迟-多普勒域，然后进行符号解调。

图4.3 OTFS系统图使用离散Zak变换

或者，OTFS发射机可以使用逆离散Zak变换(IDZT)和数模转换器(DA)来实现，以形成发射信号s(t)，如图4.3所示。OTFS接收机可以在接收信号r(t)中使用模数转换器(AD)，然后使用离散Zak变换(DZT)来实现。这种等价性将在第4.3节中变得明显，我们请读者参阅第5章以了解关于Zak变换的详细信息。

提示：

1.由于书中公式非常多，文章编辑非常耗时，后续的中文版会选择性发布，并可能采用PDF或图片的形式呈现。

2.英文原文请阅读《Delay-Doppler Communications Principles and Applications》一书，欢迎留言或加群交流。

3.严格意义上讲，笔者不能将本篇文章标记为原创，尊重英文版的版权，中文版为本人翻译，重在学习交流，不涉及商业利益。若侵权，请联系删除。

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       原文标题 : Delay-Doppler Modulation系统模型